진리집합으로 명제 참거짓 판별하기

명제와 조건 단원은 문제를 풀 때는 맞히는데 막상 정의를 묻으면 머뭇거리는 경우가 많습니다. 그 이유는 참거짓을 판별하는 문장과 변수에 따라 참거짓이 달라지는 문장을 구분하지 않고, 집합과 연결된 구조를 보지 않기 때문입니다. 이 글에서는 진리집합을 중심으로 명제와 조건의 관계를 정리하고, 실제 문제에 적용하는 순서까지 살펴봅니다.

개념	정의	집합 연결
명제	참과 거짓이 분명하게 정해지는 문장	조건이 없으면 집합이 필요 없음
조건	변수에 따라 참과 거짓이 달라지는 문장	조건 p의 집합을 P로 나타냄
p이면 q	p가 참일 때 q도 참이면 참인 명제	P가 Q에 포함되면 참

1 진리집합이 무엇인지부터 정리하기
2 명제와 조건을 집합의 언어로 바꾸는 법
3 명제 문제를 푸는 순서와 연습 방법
4 진리집합으로 명제를 바라보는 이유
5 자주 묻는 질문

진리집합이 무엇인지부터 정리하기

조건 p가 ‘x는 4의 약수’라면 x가 1, 2, 4일 때 참이 됩니다. 이렇게 조건을 참으로 만드는 값을 모두 모은 집합이 바로 조건 p의 진리집합입니다. 이 집합을 보통 P로 나타내고, 조건 q의 집합은 Q로 나타냅니다. 전체집합을 실수로 두고 조건 q가 ‘x는 8의 약수’라면 Q는 1, 2, 4, 8을 원소로 갖습니다. 조건 하나에는 반드시 집합 하나가 대응합니다. 이 대응이 명제와 집합을 잇는 다리입니다.

명제와 조건을 집합의 언어로 바꾸는 법

‘p이고 q’는 두 집합의 교집합으로 바뀌고, ‘p 또는 q’는 합집합으로 바뀝니다. ‘p가 아니다’는 여집합으로 바뀝니다. 가장 중요한 것은 ‘p이면 q’입니다. 이 명제가 참이라는 것은 P가 Q에 포함된다는 뜻입니다. 예를 들어 p가 ‘x=2’이고 q가 ‘x²=4’라면 P는 2만 원소로 갖고, Q는 2와 -2를 원소로 갖습니다. P가 Q 안에 들어가므로 p이면 q는 참입니다. 반대로 q이면 p는 -2가 반례가 되어 거짓입니다. 이처럼 조건을 집합으로 바꾸는 순간 명제 문제는 집합 문제가 됩니다.

또 다른 예로 조건 p가 ‘x는 6의 약수’이고 조건 q가 ‘x는 3의 약수’라면 P는 1, 2, 3, 6을 원소로 갖고, Q는 1, 3을 원소로 갖습니다. 이때 Q가 P에 포함되므로 q이면 p는 참이고, p이면 q는 거짓입니다. 따라서 q는 p의 충분조건이고 p는 q의 필요조건입니다. 이렇게 집합의 크기만 비교해도 조건 사이의 관계가 보입니다.

필요조건과 충분조건을 포함관계로 읽기

p이면 q가 참일 때 p는 q의 충분조건이고, q는 p의 필요조건입니다. 집합으로 보면 P가 Q에 포함되고, 작은 집합 쪽이 더 강한 조건입니다. 예를 들어 p가 ‘x는 3보다 크다’이고 q가 ‘x는 1보다 크다’라면 P는 Q에 쏙 들어갑니다. 이때 p는 q의 충분조건이고, q는 p의 필요조건입니다. p이면 q와 q이면 p가 모두 참이면 두 집합이 같아지고, p와 q는 서로 필요충분조건이 됩니다. 필요와 충분이라는 말만 붙잡지 말고, 조건 사이의 화살표가 나가는 쪽과 들어오는 쪽을 먼저 확인하는 습관이 중요합니다.

반례로 거짓 명제를 빠르게 찾는 법

명제가 참임을 보이려면 모든 경우를 확인해야 하지만, 거짓임을 보일 때는 반례 하나면 충분합니다. 반례는 p는 만족하면서 q는 만족하지 않는 값입니다. 앞에서 q이면 p가 거짓임을 보일 때 x=-2가 반례였습니다. 반례를 찾을 때는 경계값, 0, 1, 음수처럼 계산하기 쉬운 값을 먼저 대입해 보는 것이 효과적입니다. 무작정 많은 수를 넣기보다 p를 참으로 만드는 값 중에서 q를 벗어나는 값을 찾는 것이 핵심입니다.

명제의 부정도 집합으로 보면 어렵지 않습니다. 조건 p의 부정은 여집합입니다. ‘1 이상 5 이하’의 부정은 ‘1보다 작거나 5보다 크다’가 되고, 이때 그리고와 또는이 서로 바뀝니다. 이처럼 부정을 집합 연산으로 생각하면 드모르간 법칙과도 자연스럽게 연결됩니다.

실전에서 자주 틀리는 지점

첫째, 명제와 조건의 정의를 섞는 경우입니다. 변수가 있으면 조건이고, 참거짓이 정해지면 명제입니다. 둘째, 제곱이 들어간 조건에서 음수 해를 빠뜨리는 경우입니다. x²=4의 해는 2와 -2입니다. 셋째, 포함 방향을 거꾸로 읽는 경우입니다. p이면 q가 참이면 P가 Q에 포함되지, Q가 P에 포함되는 것이 아닙니다. 넷째, 부등식 조건에서 범위가 넓은 쪽을 P로 착각하는 경우입니다. 범위가 넓은 조건일수록 집합이 큽니다. 다섯째, 반례를 찾을 때 p를 만족하지 않는 값을 가져오는 경우입니다. 반례는 반드시 p는 참이고 q는 거짓인 값이어야 합니다.

명제 p이면 q의 역은 q이면 p이고, 대우는 q가 아니면 p가 아닌 경우입니다. 원래 명제와 대우의 참거짓은 항상 같습니다. 예를 들어 n이 4의 배수이면 n은 짝수이다가 참이면, n이 짝수가 아니면 n은 4의 배수가 아니다도 참입니다. 하지만 역인 n이 짝수이면 n은 4의 배수이다는 6이 반례가 되어 거짓입니다. 직접 증명하기 어려운 명제는 대우를 이용하는 것이 유리합니다.

명제 문제를 푸는 순서와 연습 방법

문제를 만나면 먼저 앞 조건을 P, 뒤 조건을 Q로 줄입니다. 다음으로 p이면 q의 관계가 참인지 확인합니다. 그다음에 두 집합의 포함 관계를 비교하고, 필요조건과 충분조건을 판단합니다. 마지막으로 반대 방향의 명제도 확인해 필요충분조건인지 한쪽 조건인지 결정합니다. 이 순서를 지키면 긴 문장도 짧게 보입니다. 교과서 예제를 넘어 다양한 문제를 연습하고 싶다면 EBSMath에서 공통수학2 강의를 활용할 수 있습니다.

진리집합으로 명제를 바라보는 이유

명제와 조건은 정의를 정확히 외우는 것에서 출발합니다. 조건을 진리집합으로 바꾸면 참거짓 판정이 포함관계 문제로 바뀌고, 필요조건과 충분조건도 집합의 크기로 보입니다. 거짓 명제는 반례 하나로 확인할 수 있고, 실전에서 자주 틀리는 지점도 포함 방향과 반례에서 비롯됩니다. 이 흐름을 익히면 집합과 명제 단원이 따로 외울 것이 많은 단원이 아니라 하나의 그림으로 연결되는 단원으로 보입니다. 앞으로 문제를 풀 때 조건을 진리집합으로 먼저 바꾸고, 포함관계와 반례를 따지는 습관을 유지하시길 바랍니다. 수학 문제를 풀 때마다 이 구조를 떠올리면 어떤 명제 문제가 나와도 흔들리지 않을 것입니다.