많은 학생이 집합 단원에서 합집합과 교집합 기호를 반대로 쓰거나, 여집합과 차집합을 섞는 실수를 합니다. 이 글에서는 집합의 연산법칙을 짝으로 묶어 외우는 방법과, 실제 문제에서 식을 줄이는 순서를 정리해 드립니다. 아래 표는 이번에 다룰 주요 법칙을 한눈에 보여 줍니다.
| 법칙 | 표현 | 기억 방법 |
|---|---|---|
| 교환법칙 | A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A | 순서를 바꿔도 결과가 같습니다 |
| 결합법칙 | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) | 세 집합을 묶는 순서는 상관없습니다 |
| 분배법칙 | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | 합집합과 교집합이 서로에게 분배됩니다 |
| 흡수법칙 | A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A | 같은 집합이 안팎에 있으면 괄호가 사라집니다 |
| 드모르간의 법칙 | (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ, (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ | 여집합이 괄호를 넘으면 기호가 바뀝니다 |
목차
집합의 연산법칙은 왜 둘씩 짝을 이룰까
이 표를 자세히 보면 법칙이 하나 나올 때마다 반드시 짝이 따라옵니다. 예를 들어 A ∪ A = A와 A ∩ A = A처럼 ∪를 ∩로 바꾸고 U를 ∅으로 바꾸면 다른 법칙이 됩니다. 그래서 열네 개를 외울 필요 없이 일곱 쌍만 기억하면 됩니다. 집합의 연산법칙은 단순 암기보다 모양을 읽는 힘이 중요합니다.
교환법칙과 결합법칙
교환법칙은 A ∪ B = B ∪ A와 A ∩ B = B ∩ A입니다. 합집합과 교집합 모두 원소를 고르는 일이라서 순서가 결과에 영향을 주지 않습니다. 결합법칙은 (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)와 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)입니다. 세 집합이 있을 때 어느 두 집합을 먼저 묶어도 같은 결과가 나옵니다. 이 두 법칙은 수의 덧셈과 곱셈에서 배운 것과 비슷해서 비교적 쉽게 받아들여집니다.
분배법칙은 양쪽으로 모두 성립합니다
수의 분배법칙은 a(b + c) = ab + ac처럼 한 방향으로만 성립합니다. 하지만 집합에서는 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)와 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)가 모두 성립합니다. 합집합과 교집합은 둘 다 원소를 고르는 일이라 성격이 같기 때문입니다. 이 대칭이 집합의 연산법칙에서 가장 재미있는 부분입니다.
흡수법칙은 수와 다른 집합만의 특징입니다
흡수법칙은 A ∪ (A ∩ B) = A와 A ∩ (A ∪ B) = A입니다. A ∩ B는 A의 일부이므로 그것을 A에 합쳐도 A보다 커지지 않습니다. 반대로 A ∪ B는 A를 포함하므로 그것과 A를 겹치면 A가 그대로 남습니다. 같은 집합이 괄호 안팎에 함께 있으면 괄호가 통째로 사라지는 셈입니다. 이 법칙을 미리 확인하면 분배법칙을 여러 번 쓰는 수고를 줄일 수 있습니다.
드모르간의 법칙은 괄호를 넘는 여집합
드모르간의 법칙은 (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ와 (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ입니다. 괄호 밖에 여집합이 있으면 괄호를 풀면서 ∩와 ∪가 서로 바뀝니다. 합집합의 여집합은 여집합의 교집합이 되고, 교집합의 여집합은 여집합의 합집합이 됩니다. 이때 여집합 기호를 옮기기만 하고 합집합과 교집합을 그대로 두는 실수가 많으니 주의해야 합니다.
드모르간의 법칙을 직접 확인해 보기
예를 들어 전체집합 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10}이라고 하겠습니다. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}이므로 (A ∪ B)ᶜ = {5, 7, 9}입니다. 한편 Aᶜ = {5, 7, 8, 9, 10}, Bᶜ = {1, 3, 5, 7, 9}이므로 Aᶜ ∩ Bᶜ = {5, 7, 9}입니다. 두 결과가 정확히 같습니다. 이렇게 직접 원소를 나열해 보면 법칙이 훨씬 잘 믿어집니다.
실전에서 식을 줄이는 순서
법칙을 외우는 것보다 중요한 것은 식에서 법칙의 모양을 찾아내는 것입니다. 문제를 풀 때는 정해진 순서를 따라가면 헤매지 않습니다. 첫째, 차집합을 A ∩ Bᶜ로 바꿉니다. 둘째, 괄호 밖의 여집합을 드모르간의 법칙으로 안으로 밀어 넣습니다. 셋째, 흡수법칙이 걸리는지 확인합니다. 넷째, 분배법칙을 적용합니다. 다섯째, A ∩ Aᶜ = ∅, A ∪ Aᶜ = U 같은 성질로 정리합니다.
식이 길어져도 당황하지 않기
분배법칙을 쓰면 식이 두 항에서 네 항으로 늘어날 수 있습니다. 이때 늘어난 항 사이에 A ∩ Aᶜ 같은 덩어리가 숨어 있는 경우가 많습니다. A ∩ Aᶜ = ∅이고, ∅은 합집합에서 아무 일도 하지 않으므로 자연스럽게 사라집니다. 늘어나는 것은 정리되기 직전의 모습이므로 당황하지 않아도 됩니다.
경험에서 얻은 작은 팁
예전에 이 부분을 처음 배울 때는 법칙을 하나씩 따로 외우다가, 합집합과 교집합 기호만 바꾸면 짝이 된다는 사실을 뒤늦게 깨달았습니다. 그 뒤로는 문제를 볼 때 지금 이 식이 어느 법칙의 왼쪽 모양인가부터 찾게 되었습니다. 예를 들어 두 괄호에 같은 집합이 하나씩 들어 있으면 분배법칙으로 묶고, 같은 집합이 괄호 안팎에 있으면 흡수법칙을 먼저 적용합니다. 이렇게 기준을 세우니 계산량이 확 줄었습니다.
자주 틀리는 실수 세 가지
첫째, 합집합에서 겹치는 원소를 두 번 적는 실수입니다. A ∪ B를 구할 때 A와 B에 모두 있는 원소는 한 번만 씁니다. 둘째, 차집합의 방향을 바꾸는 실수입니다. A − B와 B − A는 서로 다른 집합이므로 항상 방향을 확인해야 합니다. 셋째, 드모르간의 법칙을 적용할 때 ∪와 ∩를 그대로 두는 실수입니다. 여집합이 괄호를 넘어가면 합집합은 교집합으로, 교집합은 합집합으로 바뀝니다.
정리하며
지금까지 집합의 연산법칙이 짝을 이루는 이유, 교환법칙과 결합법칙, 분배법칙, 흡수법칙, 드모르간의 법칙, 식을 줄이는 순서와 자주 틀리는 실수를 살펴봤습니다. 집합의 연산법칙은 단순히 외우는 대상이 아니라, 식에서 모양을 찾아 더 짧은 식으로 바꾸는 도구입니다. 앞으로 명제 단원에서 조건을 정리할 때, 확률과 통계에서 사건을 계산할 때도 같은 법칙이 다시 등장합니다. 이번에 익힌 짝짓기 방식과 줄이는 순서를 기억해 두면 더 어려운 단원에서도 자신 있게 문제를 풀 수 있을 것입니다.
자주 묻는 질문
Q. 법칙이 너무 많은데 어떻게 외우면 좋을까요?
A. 일곱 쌍으로 묶어서 한쪽만 외우면 됩니다. ∪를 ∩로 바꾸고 U를 ∅으로 바꾸면 짝이 됩니다. 실제 문제에서는 분배법칙, 흡수법칙, 드모르간의 법칙이 가장 자주 쓰입니다.
Q. 분배했더니 식이 더 길어졌어요.
A. 항이 늘어나는 것은 정리 직전입니다. 늘어난 항 사이에 A ∩ Aᶜ 같은 덩어리가 있는지 찾아보세요. A ∩ Aᶜ = ∅이므로 공집합이 되어 사라집니다.
Q. 차집합과 여집합이 자꾸 헷갈려요.
A. 차집합은 한 집합에서 다른 집합을 빼는 것이고, 여집합은 전체집합 U에서 그 집합을 빼는 것입니다. A − B를 A ∩ Bᶜ로 바꿔 쓰면 복잡한 식에서도 훨씬 편하게 정리할 수 있습니다.
