집합 분배법칙 쉽게 이해하는 공부법

집합 분배법칙은 중학교에서 배운 수의 분배법칙과 닮았으면서도 한 가지 큰 차이가 있습니다. 수에서는 곱셈이 덧셈 위로만 분배되지만, 집합에서는 교집합과 합집합이 서로에게 모두 분배됩니다. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)가 성립하고, 동시에 A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)도 성립합니다. 처음 이 두 식을 보면 같은 이름인데 왜 방향이 둘인지 의아할 수 있습니다. 이 차이를 이해하면 집합 분배법칙을 단순 암기하지 않고도 문제에 적용할 수 있습니다.

구분	수의 분배법칙	집합의 분배법칙
식	a(b+c)=ab+ac	A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
반대 방향	a+(b×c)는 분배되지 않음	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

1 수의 분배법칙과 무엇이 다른가
- 1.1 연산법칙이 짝을 이루는 이유
- 1.2 흡수법칙과 드모르간의 법칙
2 문제 풀이에 바로 쓰는 순서
- 2.1 대표 등식으로 확인하기
3 시험에서 헷갈리기 쉬운 지점
- 3.1 벤 다이어그램과 함께 보기
4 정리하며 바라보는 앞으로의 공부
5 자주 묻는 질문

수의 분배법칙과 무엇이 다른가

수의 세계에서 2+(3×4)는 14이고 (2+3)×(2+4)는 30입니다. 덧셈이 곱셈 위로 분배되지 않기 때문입니다. 덧셈은 양을 늘리고 곱셈은 양을 배로 만드는 서로 다른 일을 합니다. 그런데 합집합과 교집합은 둘 다 원소를 고르는 일입니다. 합집합은 넉넉하게 고르고 교집합은 까다롭게 고를 뿐, 하는 일의 종류가 같습니다. 그래서 집합 분배법칙은 양쪽 방향 모두 성립합니다. 이 대칭은 분배법칙에만 있는 것이 아닙니다. 집합의 연산법칙 전체를 보면 한쪽 법칙이 나오면 반드시 기호를 바꾼 짝이 따라옵니다.

연산법칙이 짝을 이루는 이유

집합의 연산법칙을 표로 정리하면 짝이 눈에 잘 들어옵니다. 교환법칙과 결합법칙은 수에서도 익숙하고, 분배법칙은 양쪽 방향으로 성립합니다. 흡수법칙은 수에 없는 새로운 법칙이고, 드모르간의 법칙은 여집합이 괄호를 넘어갈 때 쓰입니다.

법칙	한쪽	짝이 되는 쪽
교환법칙	A∪B=B∪A	A∩B=B∩A
결합법칙	(A∪B)∪C=A∪(B∪C)	(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
분배법칙	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)	A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
흡수법칙	A∪(A∩B)=A	A∩(A∪B)=A
드모르간의 법칙	(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ	(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ

이 표에서 왼쪽의 ∪를 ∩로, ∩를 ∪로, U를 ∅으로, ∅을 U로 바꾸면 오른쪽이 됩니다. 이것을 쌍대의 원리라고 합니다. 한쪽만 익혀 두면 나머지 한쪽은 기호만 바꾸면 되니 암기량이 절반으로 줄어듭니다.

흡수법칙과 드모르간의 법칙

흡수법칙은 같은 집합이 괄호 안팎에 있을 때 괄호가 통째로 사라지는 법칙입니다. A∩B는 이미 A 안에 있으므로 그것을 A에 합쳐도 A보다 커지지 않고, A∪B는 A를 포함하므로 그것과 A를 겹쳐도 A가 그대로 남습니다. 드모르간의 법칙은 여집합이 괄호를 넘어가면서 ∪와 ∩를 바꾸는 법칙입니다. (A∪B)ᶜ는 A 또는 B에 속하지 않는다는 뜻이므로 A에도 B에도 속하지 않아야 합니다. 그래서 Aᶜ∩Bᶜ가 됩니다. (A∩B)ᶜ는 A와 B에 동시에 속하지 않는다는 뜻이므로 Aᶜ∪Bᶜ가 됩니다.

문제 풀이에 바로 쓰는 순서

집합의 연산 문제는 식을 줄이는 순서가 정해져 있습니다. 차집합이 보이면 A−B=A∩Bᶜ로 바꾸고, 괄호 밖의 여집합은 드모르간의 법칙으로 안으로 밀어 넣습니다. 같은 집합이 괄호 안팎에 있으면 흡수법칙을 먼저 확인하고, 그래도 줄지 않으면 분배법칙을 적용합니다. 마지막으로 A∪Aᶜ=U, A∩Aᶜ=∅, A∩U=A, A∪∅=A 같은 성질로 정리합니다.

순서	할 일
1	차집합을 여집합 형태로 바꾼다
2	드모르간의 법칙으로 괄호 밖 여집합을 안으로 옮긴다
3	흡수법칙이 되는지 확인한다
4	분배법칙으로 공통 집합을 묶거나 펼친다
5	여집합의 성질로 정리한다

대표 등식으로 확인하기

이제 시험에 자주 나오는 등식 하나를 함께 보겠습니다. (Aᶜ∪B)ᶜ∪(A∩B)=A가 성립함을 보이는 문제입니다. 먼저 첫 항에 드모르간의 법칙을 적용하면 (Aᶜ∪B)ᶜ=(Aᶜ)ᶜ∩Bᶜ=A∩Bᶜ이 됩니다. 이때 (Aᶜ)ᶜ가 A가 된다는 점을 놓치면 안 됩니다. 이제 식은 (A∩Bᶜ)∪(A∩B)로 바뀝니다. 두 항에 A가 공통으로 있으므로 분배법칙을 오른쪽에서 왼쪽으로 쓰면 A∩(Bᶜ∪B)가 됩니다. Bᶜ∪B=U이므로 A∩U=A가 되어 증명이 끝납니다.

이 과정을 지도할 때 학생들이 가장 자주 실수하는 지점은 (Aᶜ)ᶜ를 Aᶜ로 두는 것입니다. 여집합을 두 번 씌우면 원래 집합으로 돌아오는데, 이 한 번을 놓치면 마지막 결과가 A가 아니라 Aᶜ로 나옵니다. 식을 줄일 때는 기호가 바뀌는 순간을 천천히 확인하는 습관이 중요합니다. 처음에는 여러 줄로 적어도 괜찮습니다. 줄이 줄어드는 모습을 보면 문제를 끝까지 풀어낼 수 있다는 자신감이 생깁니다.

시험에서 헷갈리기 쉬운 지점

분배법칙을 적용할 때 방향을 한쪽으로만 아는 경우가 많습니다. 교과서에는 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)로 먼저 나오기 때문에 왼쪽에서 오른쪽으로만 익숙합니다. 하지만 문제를 풀 때는 반대 방향, 즉 두 항에 같은 집합이 보이면 그것을 밖으로 빼내는 동작이 필요합니다. (A∩B)∪(A∩C)를 보고 A∩(B∪C)로 묶을 수 있어야 합니다. 이 동작은 중학교에서 3x+3y를 3(x+y)로 묶던 것과 같습니다.

원소가 모두 주어진 문제에서도 분배법칙을 먼저 쓰는 것이 좋습니다. 예를 들어 전체집합 U가 10 이하의 자연수이고 A가 소수, B가 짝수, C가 6의 약수일 때 (A∪B)∩(B∪Cᶜ)를 구하는 문제가 있습니다. 두 괄호에 공통으로 들어 있는 B를 찾아 B∪(A∩Cᶜ)로 줄이면 계산할 대상이 확 줄어듭니다. A∩Cᶜ={5,7}이므로 B∪{5,7}={2,4,5,6,7,8,10}이 되고 모든 원소의 합은 42입니다. 직접 합집합과 교집합을 여러 번 구하면 원소를 옮겨 적는 횟수가 많아져 실수가 쌓입니다.

벤 다이어그램과 함께 보기

집합이 두 개일 때는 벤 다이어그램으로 연산 결과를 빠르게 확인할 수 있습니다. 집합이 세 개가 되면 영역이 여덟 개라서 번호를 매기는 것이 오히려 부담이 됩니다. 그래서 세 집합이 나오는 문제는 벤 다이어그램보다 연산법칙으로 식을 줄이는 것이 정공법입니다. 분배법칙을 적용할 때는 두 괄호에 공통으로 들어 있는 집합을 먼저 찾으세요. 공통 집합이 있고 바깥 연산이 안쪽 연산과 다르면 그 집합을 밖으로 빼낼 수 있습니다.

정리하며 바라보는 앞으로의 공부

지금까지 집합 분배법칙의 원리, 짝을 이루는 연산법칙, 식 줄이는 순서, 대표 문제와 헷갈리기 쉬운 지점을 살펴보았습니다. 집합의 연산법칙은 외울 것이 많아 보이지만 실제로는 일곱 쌍이고, 한쪽에서 기호만 바꾸면 다른 쪽이 됩니다. 이 내용은 다음에 배우는 명제에서 조건을 정리할 때와 확률에서 사건을 계산할 때도 같은 모습으로 다시 나타납니다. 오늘 익힌 식 줄이기 순서를 잘 다져 두면 앞으로의 공부가 훨씬 수월해질 것입니다.